Određeni integral je jedan od najvažnijih pojmova u matematici, s kojim se često susrećemo u školskom gradivu. Da bismo bolje razumjeli što je to određeni integral, moramo prvo definirati neodređeni integral. Neodređeni integral funkcije f(x) je antiderivacija te funkcije, tj. pronalaženje funkcije F(x) čiji je izvod jednak funkciji f(x).
Određeni integral, s druge strane, predstavlja površinu ispod grafika funkcije f(x) između dviju točaka a i b na x-osi. Oznaka za određeni integral funkcije f(x) od a do b je ∫[a, b] f(x) dx, gdje su a i b granice integrala.
Određeni integral je važan jer omogućuje izračunavanje različitih veličina poput površine ispod krivulje, duljine krivulje, volumena tijela nastalog rotacijom krivulje oko neke osi, te mnoge druge primjene u znanosti i inženjerstvu.
Ključna pravila i svojstva određenog integrala uključuju linear-nost, aditivnost, svojstvo konstante, te pravilo zamjene. Linear-no svojstvo znači da integral od sume dviju funkcija jednak integralu svake funkcije zasebno. Aditivnost označava da je integral zbroja dviju funkcija jednak zbroju njihovih integrala. Svojstvo konstante omogućava izdvajanje konstante iz integrala, dok pravilo zamjene omogućava izračunavanje integrala složenih funkcija koristeći pravilo lančanog pravila.
Pogreške koje se često javljaju prilikom računanje određenih integrala uključuju zaboravljanje granica integracije, pogrešno primjenu pravila zamjene ili distributivnosti, te zanemarivanje minus znaka kod promjene granica integracije.
Evo nekoliko primjera s objašnjenjima:
1. ∫[0, 2] x^2 dx = [1/3 x^3]_0^2 = 8/3
2. ∫[1, 4] 3x dx = [3/2 x^2]_1^4 = 21
3. ∫[0, π] sin x dx = [-cos x]_0^π = 2
Za samoprovjeru, pokušaj riješiti sljedeće zadatke:
1. Izračunaj ∫[2, 5] (3x^2 – 2x) dx
2. Izračunaj ∫[0, 1] e^x dx
3. Izračunaj ∫[π/4, π/2] cos x dx
Rješenja:
1. 83
2. e – 1
3. sin(π/4) – sin(π/2) = √2/2